《格林公式及其应用》内容小结、题型与典型题

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一、格林公式

当(1)积分曲线为闭曲线L；

(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；

(3)在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有 

【注1】正确使用以上标准格林公式，三个条件：闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性，一个都不能少。

【注2】格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向，而是取相反的方向时，则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质，有

即不管边界曲线取什么方向，有

利用“左手法则”判断为正方向，则取正；否则取负。

【注3】判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”：当沿着边界曲线的正方向行走时，平面区域应该位于我们左手一侧，所以对于单连通区域，即只有外边界曲线的实心区域来说，曲线的正方向为逆时钟方向；对于多连通区域，则边界曲线由内外边界曲线构成，外边界曲线的正方向为逆时钟方向，内边界的边界曲线为顺时钟方向。

【注4】注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。如果切向量方向为T⁰=(cosα,cosβ)（T=(x’(t),y’(t))），则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n⁰=(cosβ,-cosα)（n=(y’(t),-x’(t))）；当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n⁰=(-cosβ,cosα)（n=-(y’(t),-x’(t))）。即曲线的法向量与切向量的关系为：n=±(y’(t),-x’(t))。取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。

平面曲线方向的确定可以参见推文：高等数学中平面曲线方向的确定。

二、利用格林公式计算对坐标的曲线积分的基本思路与步骤

第一步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(dx前面的函数为P(x,y)，dy前面的函数为Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号)。

第二步：计算Q(x,y)关于x的偏导数，P(x,y)关于y的偏导数。如果两者之差比较简单且不等于0，则考虑使用格林公式计算曲线积分。

第三步：判定问题中给出的条件是否满足格林公式的三个条件：封闭性、方向性和偏导数的连续性。如果封闭性和偏导数的连续性不满足，则可以考虑通过添加辅助线的方式将积分曲线封闭起来，或者将偏导数不存在的点隔离开来；然后使用格林公式在闭区域上计算二重积分。如果添加了辅助线，则最终结果应该用二重积分的结果减去辅助线上的曲线积分。

【注1】如果两偏导数之差等于0，可以考虑积分与路径无关来求解。

【注2】对于一些不能直接使用格林公式的被积表达式，借助被积函数积分定义在积分曲线上，满足描述积分曲线的方程，通过描述积分曲线的方程，变换、化简被积表达式，即可以起到化简计算的目的，也可能通过变换使得被积函数符合格林公式的条件，进而可以考虑使用格林公式来计算曲线积分。

【注3】对于格林公式不满足的条件可以通过构造条件来使用格林公式，比如积分区域不满足封闭性，可以通过添加辅助线封闭曲线；偏导数连续不满足，可以通过变换函数，或者通过添加辅助线来使得其满足。值得注意的是，如果添加了辅助线，则最后要记得用二重积分的结果减去辅助线上的曲线积分。

【注4】格林公式也适用于对弧长的曲线积分，只要借助于两类曲线积分之间的关系即可实现两类曲线积分之间的转换。

【注5】一般借助于格林公式计算对坐标的曲线积分，同样也可以用于计算对弧长的曲线积分，另外，也可以通过构造合适的P、Q函数，用曲线积分来计算二重积分。

参考课件节选：

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